Penalaran Induktif dan Penalaran Deduktif Matematika
Penalaran Induktif dalam matematika, untuk memahami matematika diperlukan penguasaan konsep yang lebih baik. Supaya dapat menyelesaikan soal-soal matematika dengan benar, dibutuhkan kemampuan antara lain memahami masalah dan dapt mengungkapkan kembali masalah yang sedang dipelajari.
Saat berpikir kritis, kita menggunakan penalaran induktif dan deduktif. Penalaran induktif adalah penalaran yang berlangsung dari hal khusus ke hal umum (generalisasi). Penalaran deduktif adalah penalaran yang berlangsung dari hal umum ke hal khusus.
Kali ini kita akan membahas pengertian proposisi dan bukan proposisi dengan beragam contoh. Selain itu juga akan dibahas keluarga implikasi dan proposisi berkuantor dan ingkarannya, tautologi, dan kontradiksi.
Penalaran Induktif
Jika hujan datang dengan lebatnya, kita kemudian akan membuat kesimpulan "sebentar lagi akan terjadi banjir". Kesimpulan barusan adalah suatu dugaan berdasar pengalaman sebab biasanya kalau hujan turun berarti banyak genangan air tersumbat.
Jika dalam matematika contohnya adalah perbandingan antara garis tengah dan keliling lingkaran. Bila kita ukur dari roda sepeda yang berbeda ukuran keliling dan jari-jarinya ternyata pengukuran itu diperoleh perbandingan panjang keliling dengan panjang garis tengahnya yang sama yaitu 3,14 atau ²²/₇.
Dua contoh yang telah kita pelajari diatas merupakan contoh pemikiran induktif. Maka pemikiran induktif adalah pemikiran yang menggunakan sebuah kejadian atau pengalaman yang sering kita jumpai.
Contoh:
1+3=2²
1+3+5=3²
1+3+5+7=4²
1+3+5+9=5²
Contoh soal penalaran induktif
Tentukan jumlah dari 1+3+5+ ... + (2n-1)
Jawab : 1,3,5,7,9,...,2n-1 merupakan bilangan ganjil
1 dan 3 merupakan dua bilangan ganjil pertama dan berjumlah 4 = 2²
1,3, dan 5 adalah tiga bilangan ganjil pertama dan berjumlah 9 = 3²
1,3,5, dan 7 adalah empat bilangan ganjil pertama dan berjumlah 16 = 4²
Dari contoh soal diatas dapat diduga jumlah dari sepuluh bilangan ganjil pertama adalah 10²
Atau
1+3+5+7+9+11+15+17+19 = 10²
3 adalah suku ke-2 dari bilangan ganjil
5 adalah suku ke-3 dari bilangan ganjil
7 adalah suku ke-4 dari bilangan ganjil
(2n-1) adalah suku ke-n dari bilangan ganjil
Jadi jumlah dari 1+3+5+...+(2n-1) = n²
Penalaran induktif secara matematis tidak selalu benar, maka diperlukan penalaran induktif.
Penalaran Deduktif
Berbeda dan kebalikan dari penalaran induktif. Pada sebuah matematika kerap terjadi aturan dicoba dibuktikan kebenarannya sebelum ditetapkan sebagai aturan umum. Jika sudah terbukti dan dinyatakan sah dapat diterapkan pada persoalan istimewa. Cara berpikir dengan cara tadi adalah cara berpikir yang mengakui kebenaran keabsahan secara umum.
Perhatikan contoh penalaran berikut.
Ada segitiga siku-siku ABC, siku-siku di A, apa yang dapat kamu simpulkan? Penalaran seperti ini adalah penalaran deduktif yang merupakan pemikiran umum ke khusus.
Induksi Matematika
Perhatikan persamaan berikut.
1 = 1²
1+3 = 2²
1+3+5 = 3²
1+3+5+& = 4²
Dari kesamaan diatas dapat dirumuskan n suku pertama dari bilangan ganjil 1+3+5+&+...(2n-1) = n²